Mécanique des fluides
Diffusion-advection
Explications
Une concentration de polluant (stable) dans l'air va évoluer en fonction de deux phénomènes agissant simultanément :
- Diffusion : le polluant se disperse naturellement
- Advection : le polluant est transporté par les vents
Diffusion
En deux dimension, la diffusion agit au carré de la distance, mais dans la réalité, c'est au cube ! Ainsi, une source constante de pollution gazeuse va produire une forte concentration dans son environnement immédiat, mais qui va diminuer drastiquement avec la distance.
Retournez à la simulation (cheminée : 0.5ppb/min, vent:0/min) : le panache de fumée semble disparaître, comme une flamme de bougie. En réalité, la concentration augmente doucement dans l'environnement, à terme, toute la ville sera polluée.
Advection
Le vent peut déplacer d'importantes concentrations à distance de la source d'émission. Il participe à la dispersion du polluant et augmente d'autant l'effet de la diffusion.
Retournez à la simulation et augmentez le vent à 5m/s. Le panache se réduit encore plus. (avant de s'aggrandir de nouveau car la pollution qui sort à l'est revient par l'ouest)
La vitesse du vent augmente avec l'altitude, c'est pourquoi plus une cheminée est haute et plus la pollution sera dispersée efficacement.
Le vent peut être géné par les obstacles, et parfois amener ou conserver la pollution à des endroits où elle n'est pas souhaitée. Entre deux obstacles de grande taille, un phénomène de circulation se produit : l'air "tourne en rond". c'est ce qu'on appelle un canyon urbain ou une rue canyon.
Retournez à la simulation et augmentez l'émission de la route à 1ppb (cheminée à 0ppb/s, vent à 5m/s). Remarquez comment le vent peine à extraire la pollution entre les deux immeubles. Essayez de briser l'effet canyon en réduisant un peu les émissions de la route puis en alternant successivement vent d'est et d'ouest.
Méthodologie
La simulation présente graphiquement les flux gazeux en deux dimensions, avec les bords est et ouest connectés.
La vitesse du vent est la vitesse mesurée à 10m d'altitude. Elle (v) est variable en fonction de l'altitude (z) : $$ v_{z} = v_{10} ~ \frac{\ln{z}}{\ln{10}} $$
La simulation numérique du comportement de l'air est basée sur Stam (2003).
L'air suit approximativement les équations suivantes
$$
\begin{gather}
\frac{\delta v}{\delta t} = -(v \cdot \nabla)v + \nu \nabla^2 v + f
\newline
\frac{\delta \rho}{\delta t} = -(v \cdot \nabla)\rho + \kappa \nabla^2 \rho + S
\end{gather}
$$
L'air est supposé incompressible.
Le modèle n'inclue pas la température et donc pas d'effet de convection/advection thermique.
La pression atmosphérique est constante quelle que soit l'altitude.
La masse volumique de l'air est supposée constante quelle que soit la concentration en polluant.
Limites
La vélocité se dissipe plus vite que dans la réalité. Je suis en train d'écrire une version améliorée avec :
- confinement de la vorticité : pour conserver la vitesse
- surrelaxation : pour améliorer la précision et limiter l'instabilité numérique
Références
Jos Stam - Proceedings of the game developer conference, 2003